Cet article présente un récapitulatif d’un des thèmes abordés lors de Quantminds 2023 : le skew de volatilité ATM et la volatilité rough. Dans la perspective de la valorisation d’options, certains modèles de volatilité stochastique comme Hull White, Heston et SABR génèrent des surfaces de volatilité implicites dont les formes diffèrent de celles observées empiriquement. On a fait observer que même si le niveau et l’orientation de la surface de volatilité changent au fil du temps, la forme générale ne change pas. Cela peut suggérer de modéliser la volatilité comme un processus indépendant du prix et du temps. Cependant, pour une maturité et un smile fixe, peu de choses peuvent être dites.
En revanche, la dépendance du smile au temps d’expiration est intimement liée à la dynamique du sous-jacent. Le skew ATM est ainsi défini comme :
est devenu alors une quantité d’intérêt. Où K est le log strike et τ le temps jusqu’à expiration. Pour les modèles stochastiques, le calcul de la volatilité skew ATM peut encore être incohérent, la méthode conventionnelle pour résoudre cela est d’introduire plus de facteurs de volatilité. Une autre méthode consiste à incorporer la volatilité brute dans les modèles.
Skew Stickiness & Rough Volatility par J.Gatheral
La présentation de Jim Gatheral introduit une méthode de calcul pour l’indicateur appelé skew stickiness. Il fournit une approximation grâce à plusieurs méthodes mathématiques (Diamond Product, G-Theorem et Trees and Forests) présentées dans son ouvrage. Ici, un modèle de Variance Forward est utilisé pour faire un point général. En effet, n’importe quel modèle markovien peut être transformé en un modèle de variance forward et il est naturel de spécifier un modèle sous cette forme. Les variances forward sont des actifs négociables.
Ainsi, compte tenu d’un modèle stochastique écrit sous la forme de la courbe de variance forward, nous pouvons facilement élargir la volatilité implicite et calculer la structure à terme de la volatilité skew ATM. L’expansion Bergomi-Guyon fournit la relation directe entre le smile et la formulation explicite d’un modèle sous forme de variance forward. Maintenant, afin d’indiquer le taux de variation de la volatilité ATM prédite par le skew et du rendement des prix, le skew stickiness ratio est introduit. Ce ratio R est une quantité d´dépendante du modèle, officieusement :
Cette grandeur relie deux grandeurs d’intérêt : la première est la corrélation entre les incréments de la volatilité implicite ATM de maturité T et les rendements logarithmiques du sous-jacent, tandis que la seconde grandeur est le skew implicite de la même maturité T. Ce ratio peut être ajouté sur différents modèles ( SABR, Heston, …). Il est toujours compatible avec la volatilité rough de Heston. Il dépend de la courbe de variance forward et est très sensible à l’historique récent des rendements boursiers.
Does the term of the equity ATM skew really follow a power law ? par Julien Guyon
La motivation de J.Guyon est d’examiner l`a aussi le skew ATM et de trouver un moyen de le paramétrer. D’abord, il observe que qu’il correspond à la loi de puissance si nous ignorons les maturités les plus courtes. Le but de ses recherches est de trouver suffisamment de preuves pour le prouver. Dans ce travail, un modèle de courbe de variance est également utilisé. Trois paramétrisations sont considérées. Pour chacune d’entre elles, la structure initiale de terme skew ATM est calculée, puis une optimisation est faite pour avoir la valeur exacte. Deux ajustements sont comparés two-exponential kernel et power low kernel. D’autres présentations ont eu lieu au cours de cette session de Quantminds sur le thème de la volatilité skew ATM et de la rugosité. La littérature de certains d’entre elles sont mis dans la bibliographie.
Bibligraphie
- Rough Volatility An overview – Jim Gatheral(2017)
- Diamond trees, forests, cumulants, and Martingales – Jim Gatheral(2020)
- On the skew and curvature of implied and local volatilities – Elisa Alos(2022)
- Weak error estimates for rough volatility models – Peter K.Friz
- Does the term-structure of equity ATM skew really follow a power law ? – Julien Guyon (2023)
- The ATM implied skew ine the ADO-Heston model – Andrey Itkin (2023)
- Stochastic volatility’s orderly smiles, Risk – Bergomi and Guyon (2012)
un article rédigé par…
Agathe DEVOULON
Consultante Quant chez Quanteam
